ilmsarchashmalari@umail.uz +998 91-915-45-55 220100, Urganch shahri, Hamid Olimjon koʻchasi, 14-uy.
O'zbekcha Русский English
Arxiv / №8 · 2026 / Maqola
01.00.00 – FIZIKA-MATEMATIKA FANLARI

UCH O‘LCHAMLI PANJARADA IKKI ZARRACHALI DISKRET SHRYODINGER OPERATORI XOS QIYMATLARINING BO‘SAG‘A ASIMPTOTIKALARI

Annotatsiya
O'ZBEKCHA

Maqolada uch o‘lchamli Z^3 panjaradagi ikki zarrachali diskret Shryodinger operatori-ning nol kvazimomentga mos H_(μ_1 μ_2 ) (0) fiber operatori koordinata bo‘yicha antisimmetrik invariant qism fazoda o‘rganiladi. Ushbu qism fazoda tugundagi o‘zaro ta’sir va eng yaqin qo‘shni tugunlar o‘zaro ta’-sirining simmetrik komponentlari yo‘qolib, masala faqat μ_2 ga bog‘liq rangi birga teng qo‘zg‘alishga kel-tiriladi. Lippmann–Schwinger tenglamasi orqali xos qiymat masalasi skalyar Fredholm determinantiga re-duksiya qilinadi. Muhim spektr [0,24] dan pastda va yuqorida xos qiymatlarning mavjudligi hamda yago-naligi uchun zarur va yetarli shartlar, kritik bog‘lanish konstantalari va xos qiymatlar uchun chiziqli bo‘-sag‘a asimptotikalari aniqlanadi.

Kalit so'zlar: Ikki zarrachali diskret Shryodinger operatori, nol kvazimoment, koordinata-antisim-metrik qism fazo, muhim spektr, Fredholm determinanti, bo‘sag‘a asimptotikasi.
РУССКИЙ

В статье рассматривается фибер-оператор H_(μ_1 μ_2 ) (0) двухчастичного дис-кретного оператора Шрёдингера на решётке Z^3 в координатно-антисимметричном инвариант-ном подпространстве. В этом подпространстве одноузельное взаимодействие и симметрические компоненты взаимодействия ближайших соседей не дают вклада, поэтому редуцированный опе-ратор является возмущением ранга один, зависящим только от μ_2. С помощью уравнения Липпма-на–Швингера задача о собственных значениях вне существенного спектра [0,24] сводится к скал-ярному определителю Фредгольма. Получены необходимые и достаточные условия существования изолированных собственных значений, критические константы связи и линейные пороговые асимптотики.

Ключевые слова: двухчастичный дискретный оператор Шрёдингера, нулевой квазиимпульс, координатно-антисимметричное подпространство, существенный спектр, определитель Фред-гольма, пороговая асимптотика.
ENGLISH

We study threshold asymptotics for eigenvalues of the zero-quasimomentum fiber ope-rator H_(μ_1 μ_2 ) (0) for a two-particle discrete Schrödinger operator on the three-dimensional lattice Z^3. The operator is restricted to the coordinate-antisymmetric invariant subspace. In this subspace the on-site interaction and the symmetric nearest-neighbor components vanish; hence the reduced problem is governed by a rank-one perturbation depending only on μ_2. The Lippmann–Schwinger reduction gives a scalar Fredholm determinant. We obtain necessary and sufficient conditions for isolated eigenvalues below and above the essential spectrum, identify the critical coupling constants, and prove linear threshold asymptotics of the corresponding eigenvalue branches.

Keywords: Two-particle discrete Schrödinger operator, zero quasimomentum, coordinate-antisym-metric subspace, essential spectrum, Fredholm determinant, threshold asymptotics.
Maqola · PDF
PDF yuklab olish Yangi oynada ochish

Foydalanilgan adabiyotlar

  1. D.Mattis. The few-body problem on a lattice, Rev. Mod. Phys. 58 (1986), p. 361–379.
  2. S.Albeverio, S.N.Lakaev, Z. I.Muminov. Schrödinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics, Ann. Henri Poincaré 5 (2004), p. 743–772.
  3. S.Albeverio, S.N.Lakaev, K.A.Makarov, Z.I.Muminov. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians on lattices, Comm. Math. Phys. 262 (2006), p. 91–115.
  4. V.Bach, W.de Siqueira Pedra, S.N.Lakaev. Bounds on the discrete spectrum of lattice Schrödinger operators, J Math. Phys. 59 (2017).
  5. P.A. Faria Da Veiga, L.Ioriatti, M.O’Carroll. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schrödinger Hamiltonians, Phys. Rev. E 66 (2002), 016130.
  6. S.N Lakaev, Sh.Y Kholmatov, Sh.I.Khamidov. Bose-Hubbard model with on-site and nearest-neighbor interactions; exactly solvable case, J.Phys. A: Math. Theor. 54 (2021).
  7. A.K.Motovilov, W.Sandhas, V.B.Belyaev. Perturbation of a lattice spectral band by a nearby resonance, J.Math. Phys. 42 (2001), p. 2490–2506.
  8. S.N.Lakaev, I.N.Bozorov. The number of bound states of a one-particle Hamiltonian on a three-dimensional lattice, Theoret. and Math. Phys. 158 (2009), p. 360–376.
  9. S.N.Lakaev, M.O.Akhmadova. The number and location of eigenvalues for the two-particle Schrödinger operators on lattices, Complex Analysis and Operator Theory 17 (2023).
  10. S.N.Lakaev, A.K.Motovilov, S.Kh.Abdukhakimov. Two-fermion lattice Hamiltonian with first and second nearest-neighboring-site interactions, J.Phys. A: Math. Theor. 56 (2023).
  11. ]. M.Reed, B.Simon. Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators, Academic Press, New York, 1978.
  12. B.A.Lippmann, J.Schwinger. Variational principles for scattering processes. I, Phys. Rev. 79 (1950), p. 469–480.
← Songa qaytish