ilmsarchashmalari@umail.uz +998 91-915-45-55 220100, Urganch shahri, Hamid Olimjon koʻchasi, 14-uy.
O'zbekcha Русский English
Arxiv / №9 · 2026 / Maqola
01.00.00 – FIZIKA-MATEMATIKA FANLARI

EYLER FUNKSIYASI YORDAMIDA YECHILADIGAN NOSTANDART MASALALAR HAQIDA

Annotatsiya
O'ZBEKCHA

Ushbu maqolada sonlar nazariyasining fundamental va amaliy tushunchalaridan biri boʻlgan Eyler funksiyasi, uning asosiy xossalari hamda algebraik, kombinatorik va olimpiada xarakteri-dagi nostandart masalalarni yechishdagi oʻrni va tatbiqlari keng atrofda tadqiq qilingan. Maqolada Eyler funksiyasining multiplikativlik xossasi, u bilan bogʻliq teoremalar (Eyler va Fermaning kichik teoremalari) va lemmalarning nazariy isbotlari keltirilgan. Shuningdek, yuqori darajali koʻrsatkichli taqqoslamalarni yechish, sonlarning oxirgi raqamlarini hamda qoldiqlarni aniqlash, egizak tub sonlar va murakkab sonlar uchun tengsizliklarni isbotlashga doir murakkab va nostandart masalalarni sodda hamda samarali usullar yordamida yechish modellari ishlab chiqilgan. Maqola yakunida amaliy va mantiqiy tafakkurni rivojlanti-rishga qaratilgan mustaqil yechish uchun oliy darajali masalalar toʻplami taklif etilgan.

Kalit so'zlar: tub sonlar, murakkab son, Eyler funksiyasi, Fermaning kichik teoremasi.
РУССКИЙ

В данной статье подробно исследована функция Эйлера, являющаяся одним из фундаментальных и прикладных понятий теории чисел, а также ее свойства и применение при ре-шении нестандартных, алгебраических и олимпиадных задач. В работе приведены теоретические доказательства свойства мультипликативности функции Эйлера, ключевых лемм и теорем (те-оремы Эйлера и малой теоремы Ферма). Разработаны эффективные и упрощенные модели реше-ния сложных задач, связанных с нахождением остатков от деления, определением последних цифр высоких степеней чисел, а также доказательством неравенств для составных и парных простых чисел. В заключительной части статьи представлен комплекс задач для самостоятельного реше-ния, направленный на развитие логического мышления и исследовательских навыков учащихся.

Ключевые слова: простые числа, составные числа, функция Эйлера, малая теорема Ферма.
ENGLISH

This paper presents a comprehensive study of Euler's totient function, one of the fundamental concepts in number theory with significant theoretical and practical applications. The work explores the key mathematical properties of Euler's function, including its multiplicativity, alongside rigorous theoretical proofs of related lemmas and core theorems, such as Euler's theorem and Fermat's Little Theorem. Efficient methodologies and algorithmic models are proposed to solve non-standard, high-level contest problems involving modular exponentiation, remainder evaluation, determination of trailing digits, and inequality proofs for prime and composite numbers. Furthermore, a curated set of advanced problems is provided for independent study to enhance analytical problem-solving and algorithmic thinking.

Keywords: Prime numbers, composite numbers, Euler's totient function, Fermat's little theorem.
Maqola · PDF
PDF yuklab olish Yangi oynada ochish

Foydalanilgan adabiyotlar

  1. Aleyev N.M., Tojiyev Sh.R. (2018). Sonlar nazariyasi va algebra. Toshkent, “Oʻqituvchi” nashriyoti.
  2. Asqarov A.S. (2021). Olimpiada matematikasining asoslari. Sonlar nazariyasi va kombinatika. Toshkent, "Akademnashr".
  3. Hardy G.H., Wright E.M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press.
  4. Burton D.M. (2011). Elementary Number Theory (7th ed.). New York, McGraw-Hill.
  5. Rosen K.H. (2011). Elementary Number Theory and Its Applications (6th ed.). Pearson Education.
  6. Vinogradov I.M. (2004). Elements of Number Theory. Mineola, NY, Dover Publications.
  7. Andreescu T., Andrica D. (2007). Number Theory: Structures, Examples, and Problems. Boston: Birkhäuser.
  8. Sirojiddinov S.H. (1990). Sonlar nazariyasi. Toshkent: “Oʻqituvchi” nashriyoti.
  9. Sivaramakrishnan,R. (1989). Classical Theory of Arithmetic Functions. New York: Marcel Dekker.
  10. Koblitz N. (1994). A Course in Number Theory and Cryptography (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
← Songa qaytish