IKKI O‘LCHAMLI PANJARADAGI IKKI BOZONLI SISTEMAGA MOS QAVAT SHRYODINGER OPERATORINING SPEKTRAL TAHLILI

Исследуется волоконный оператор Шрёдингера для системы двух бозонов на двумерной решётке с одноузельным взаимодействием, взаимодействием ближайших соседей и осе-вым взаимодействием вторых соседей. При нулевом полном квазиимпульсе оператор редуцируется на подпространство, симметричное относительно перестановки координат, где оператор взаи-модействия имеет ранг три. С помощью оператор Липпмана–Швингера задача на собственные значения сводится к конечномерному определителю Фредгольма. Получены пороговые асимпто-тики этого определителя, описаны соответствующие критические множества в пространстве параметров взаимодействия и доказано, что они разбивают пространство параметров на облас-ти, в которых число дискретных собственных значений постоянно. В результате получена полная классификация числа собственных значений ниже и выше существенного спектра.

We study the fiber Schrödinger operator for a two-boson system on the two-dimensional lattice with on-site, nearest-neighbor, and axial second nearest-neighbor interactions. At zero total quasi-momentum the operator is reduced to the coordinate-exchange-symmetric subspace, where the interaction has rank three. Using the Lippmann–Schwinger operator, the eigenvalue problem is reduced to a finite-dimensional Fredholm determinant. We derive the threshold asymptotics of this determinant, describe the corresponding critical sets in the interaction-parameter space, and prove that these sets divide the parameter space into regions on which the number of discrete eigenvalues is constant. This yields a complete classification of the number of eigenvalues below and above the essential spectrum.