ilmsarchashmalari@umail.uz +998 91-915-45-55 220100, Urganch shahri, Hamid Olimjon koʻchasi, 14-uy.
O'zbekcha Русский English
Arxiv / №9 · 2026 / Maqola
01.00.00 – FIZIKA-MATEMATIKA FANLARI

REMAINDER TERMS FOR THE CRITICAL BELLMAN–HARRIS PROCESS ABOVE THE HEAVY-TAIL THRESHOLD

Annotatsiya
O'ZBEKCHA

Ushbu maqolada kritik Bellman-Harris jarayonining og‘ir dumli sharoitdagi omon qo-lish ehtimolining ikkinchi tartibli asimptotikasi o‘rganiladi. Reproduktiv qonuniyat Slack sharti bo‘yicha muntazam o‘zgaruvchan, yashash muddati taqsimotining dumi esa muntazam o‘zgaruvchan deb qaraladi. Klassik asimptotik qonuniyatdan keyingi qoldiq had ikkita asosiy mexanizmning – muvozanat dumi orqali yuzaga keluvchi yangilanish mexanizmi va Stone doimiysi bilan bog‘liq lokal mexanizmning–o‘zaro nisba-tiga bog‘liqligi ko‘rsatiladi. Ikkinchi chegara asosida qoldiq hadning darajali, doimiy va logarifmik rejim-lari ajratiladi. Ishda ushbu natijalar yagona konvolyutsiyaning ikki hadli asimptotikasi orqali asoslanadi hamda chekli dispersiyali holatda mavjud natijalar bilan mosligi ko‘rsatiladi.

Kalit so'zlar: Bellman-Harris jarayoni, kritik tarmoqlanish jarayoni, muntazam o‘zgaruvchan dum-lar, og‘ir dumli taqsimot, omon qolish ehtimoli, qoldiq hadlar, ikkinchi chegara, Stone doimiysi, yangila-nish zichligi, muvozanat taqsimoti, Slack sharti, sekin o‘zgaruvchi funksiyalar, ikkinchi tartibli asimptotika.
РУССКИЙ

В статье исследуется асимптотика второго порядка вероятности выживания критического процесса Беллмана–Харриса в режиме тяжёлых хвостов. Предполагается, что за-кон воспроизводства удовлетворяет условию регулярной вариации Слэка, а хвост распределения времени жизни является регулярно меняющимся. После классического главного асимптотического члена остаточный член определяется взаимодействием двух механизмов: механизма, обусловлен-ного теорией возобновления и связанного с равновесным хвостом, и локального механизма, предс-тавленного константой Стоуна. Вторая пороговая граница разделяет соответствующие режи-мы и приводит к степенной, постоянной или логарифмической поправке. Анализ основан на двуч-ленной асимптотике одной свёртки, возникающей из точного тождества для вероятности выжи-вания. Полученные результаты согласуются с известным разложением в случае конечной диспер-сии.

Ключевые слова: процесс Беллмана-Харриса, критический процесс ветвления, регулярно меняющиеся хвосты, тяжёлые хвосты, вероятность выживания, остаточные члены, вторая по-роговая граница, константа Стоуна, плотность возобновления, равновесное распределение, усло-вие Слэка, медленно меняющиеся функции, асимптотика второго порядка.
ENGLISH

This paper investigates the second-order asymptotics of the survival probability for a critical Bellman–Harris process in the heavy-tail regime. The reproduction law is assumed to satisfy Slack’s regular-variation condition, while the lifetime distribution has a regularly varying tail. Beyond the classical leading asymptotic law, the remainder term is determined by the interaction of two mechanisms: a renewal-driven mechanism associated with the equilibrium tail and a local mechanism represented by the Stone constant. A second threshold separates the resulting regimes, leading to a power correction, a constant contribution, or a logarithmic correction. The analysis is based on the two-term asymptotics of a single convolution arising from an exact identity for the survival probability. The results also recover the corresponding finite-variance expansion as a special case.

Keywords: Bellman-Harris process, critical branching process, regularly varying tails, heavy-tailed distribution, survival probability, remainder terms, second threshold, Stone constant, renewal density, equilibrium distribution, Slack’s condition, slowly varying functions, second-order asymptotics.
Maqola · PDF
PDF yuklab olish Yangi oynada ochish

Foydalanilgan adabiyotlar

  1. Athreya K.B. & Ney P.E. Branching Processes. Springer-Verlag, Berlin, 1972.
  2. Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular variation. Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
  3. Chover J. & Ney P. The non-linear renewal equation. J. Anal. Math. 21 1968, pp. 381–413
  4. Doney R.A. The remainder in the renewal theorem. Electron. Commun. Probab. 25(5) 2020, pp. 1–8.
  5. Doney R.A. Local behaviour of the remainder in renewal theory. Preprint, arXiv:2301.09593, 2023.
  6. Goldstein M.I. & Hoppe F.M. Critical multitype branching processes with infinite variance. J. Math. Anal. Appl 57 1977, pp. 675–691.
  7. ]. Imomov A.A., Tukhtaev E.E. & Rizaqulov Sh.E. Remainder terms for the non-linear renewal equation under regularly varying tails. Preprint, 2026.
  8. Imomov A.A. & Ibrohimova Y. Critical Bellman–Harris processes with two regularly varying tails. Preprint, 2026.
  9. Isozaki Y. Fractional order estimates for the renewal density. J. Math. Soc. Japan 68(1) 2016, pp. 31–49.
  10. Slack R.S. A branching process with mean one and possibly infinite variance. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 9 1968, pp. 139–145.
← Songa qaytish